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矩陣就是由方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。把用在解線性方程組上既方便，又直觀。例如對(duì)于方程組。
a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3
來(lái)說(shuō)，我們可以構(gòu)成兩個(gè)矩陣：
a1b1c1a1b1c1d1
a2b2c2a2b2c2d2
a3b3c3a3b3c3d3
因?yàn)檫@些數(shù)字是有規(guī)則地排列在一起，形狀像矩形，所以數(shù)學(xué)家們稱之為矩陣，通過(guò)矩陣的變化，就可以得出方程組的解來(lái)。
矩陣這一具體概念是由19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家凱利首先提出并形成矩陣代數(shù)這一系統(tǒng)理論的。
但是追根溯源，矩陣最早出現(xiàn)在我國(guó)的＜九章算術(shù)＞中，在＜九章算術(shù)＞方程一章中，就提出了解線性方程各項(xiàng)的系數(shù)、常數(shù)按順序排列成一個(gè)長(zhǎng)方形的形狀。隨后移動(dòng)處籌，就可以求出這個(gè)方程的解。在歐洲，運(yùn)用這種方法來(lái)解線性方程組，比我國(guó)要晚2000多年。
數(shù)學(xué)上，一個(gè)m×n矩陣乃一m行n列的矩形陣列。矩陣由數(shù)組成，或更一般的，由某環(huán)中元素組成。
矩陣常見(jiàn)于線性代數(shù)、線性規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)分析，以及組合數(shù)學(xué)等。請(qǐng)參考矩陣?yán)碚摗?br>目錄 [隱藏]
1 歷史
2 定義和相關(guān)符號(hào)
2.1 一般環(huán)上構(gòu)作的矩陣
2.2 分塊矩陣
3 特殊矩陣類別
4 矩陣運(yùn)算
5 線性變換，秩，轉(zhuǎn)置
6 Jacobian 行列式
7 參見(jiàn)
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歷史
矩陣的研究歷史悠久，拉丁方陣和幻方在史前年代已有人研究。
作為解決線性方程的工具，矩陣也有不短的歷史。1693年，微積分的發(fā)現(xiàn)者之一戈特弗里德•威廉•萊布尼茨建立了行列式論(theory of determinants)。1750年，加布里爾•克拉默其后又定下了克拉默法則。1800年代，高斯和威廉•若爾當(dāng)建立了高斯—若爾當(dāng)消去法。
1848年詹姆斯•約瑟夫•西爾維斯特首先創(chuàng)出matrix一詞。研究過(guò)矩陣論的著名數(shù)學(xué)家有凱萊、威廉•盧云•哈密頓、格拉斯曼、弗羅貝尼烏斯和馮•諾伊曼。
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定義和相關(guān)符號(hào)
以下是一個(gè) 4 × 3 矩陣：
某矩陣 A 的第 i 行第 j 列，或 i,j位，通常記為 A[i,j] 或 Ai,j。在上述例子中 A[2,3]=7。
在C語(yǔ)言中，亦以 A[j] 表達(dá)。(值得注意的是,與一般矩陣的算法不同,在C中,"行"和"列"都是從0開(kāi)始算起的)
此外 A = (aij)，意為 A[i,j] = aij 對(duì)于所有 i 及 j，常見(jiàn)于數(shù)學(xué)著作中。
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一般環(huán)上構(gòu)作的矩陣
給出一環(huán) R，M(m,n, R) 是所有由 R 中元素排成的 m× n 矩陣的集合。若 m=n，則通常記以 M(n,R)。這些矩陣可加可乘 (請(qǐng)看下面)，故 M(n,R) 本身是一個(gè)環(huán)，而此環(huán)與左 R 模 Rn 的自同態(tài)環(huán)同構(gòu)。
若 R 可置換， 則 M(n, R) 為一帶單位元的 R-代數(shù)。其上可以萊布尼茨公式定義 行列式：一個(gè)矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)其行列式在 R 內(nèi)可逆。
在維基百科內(nèi)，除特別指出，一個(gè)矩陣多是實(shí)數(shù)矩陣或虛數(shù)矩陣。
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分塊矩陣
分塊矩陣 是指一個(gè)大矩陣分割成“矩陣的矩陣”。舉例，以下的矩陣
可分割成 4 個(gè) 2×2 的矩陣
。
此法可用于簡(jiǎn)化運(yùn)算，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)證明，以及一些電腦應(yīng)用如VLSI芯片設(shè)計(jì)等。
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特殊矩陣類別
對(duì)稱矩陣是相對(duì)其主對(duì)角線（由左上至右下）對(duì)稱, 即是 ai,j=aj,i。
埃爾米特矩陣（或自共軛矩陣）是相對(duì)其主對(duì)角線以復(fù)共軛方式對(duì)稱, 即是 ai,j=a*j,i。
特普利茨矩陣在任意對(duì)角線上所有元素相對(duì), 是 ai,j=ai+1,j+1。
隨機(jī)矩陣所有列都是概率向量, 用于馬爾可夫鏈。
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矩陣運(yùn)算
給出 m×n 矩陣 A 和 B，可定義它們的和 A + B 為一 m×n 矩陣，等 i,j 項(xiàng)為 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。舉例：
另類加法可見(jiàn)于矩陣加法.
若給出一矩陣 A 及一數(shù)字 c，可定義標(biāo)量積 cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。 例如
這兩種運(yùn)算令 M(m, n, R) 成為一實(shí)數(shù)線性空間，維數(shù)是mn.
若一矩陣的列數(shù)與另一矩陣的行數(shù)相等，則可定義這兩個(gè)矩陣的乘積。如 A 是 m×n 矩陣和 B 是 n×p矩陣，它們是乘積 AB 是一個(gè) m×p 矩陣，其中
(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] 對(duì)所有 i 及 j。
例如
此乘法有如下性質(zhì)：
(AB)C = A(BC) 對(duì)所有 k×m 矩陣 A, m×n 矩陣 B 及 n×p 矩陣 C ("結(jié)合律").
(A + B)C = AC + BC 對(duì)所有 m×n 矩陣 A 及 B 和 n×k 矩陣 C ("分配律")。
C(A + B) = CA + CB 對(duì)所有 m×n 矩陣 A 及 B 和 k×m 矩陣 C ("分配律")。
要注意的是：可置換性不一定成立，即有矩陣 A 及 B 使得 AB ≠ BA。
對(duì)其他特殊乘法，見(jiàn)矩陣乘法。
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線性變換，秩，轉(zhuǎn)置
矩陣是線性變換的便利表達(dá)法，皆因矩陣乘法與及線性變換的合成有以下的連系：
以 Rn 表示 n×1 矩陣（即長(zhǎng)度為n的矢量）。對(duì)每個(gè)線性變換 f : Rn -> Rm 都存在唯一 m×n 矩陣 A 使得 f(x) = Ax 對(duì)所有 x ∈ Rn。 這矩陣 A "代表了" 線性變換 f。 今另有 k×m 矩陣 B 代表線性變換 g : Rm -> Rk，則矩陣積 BA 代表了線性變換 g o f。
矩陣 A 代表的線性代數(shù)的映像的維數(shù)稱為 A 的矩陣秩。矩陣秩亦是 A 的行（或列）生成空間的維數(shù)。
m×n矩陣 A 的轉(zhuǎn)置是由行列交換角式生成的 n×m 矩陣 Atr （亦紀(jì)作 AT 或 tA），即 Atr[i, j] = A[j, i] 對(duì)所有 i and j。若 A 代表某一線性變換則 Atr 表示其對(duì)偶算子。轉(zhuǎn)置有以下特性：
(A + B)tr = Atr + Btr，(AB)tr = BtrAtr。